Question

已知直角三角形ABC中,角C=90°,角A=30°,点D是AB边的中点,连接CD,过点D作DM垂直于CD,DM交AC于点

Answer 1

（1)证明：因为 在直角三角形ABC中,角C=90度,角A=30度,

所以 角B=60度,

又因为 D是AB边的中点,

所以 CD=BD=AB/2,

所以 三角形BCD是等边三角形,

所以 角CDB=60度,

因为 DM垂直于CD于D,角MDC=90度,

所以 角MDA=30度,

所以 角A=角MDA,

所以 MA=MD,

因为 MG垂直于AB于G,

所以 AG=AD/2=AB/4,

因为 三角形BCD是等边三角形,CH垂直于AB于H,

所以 DH=BD/2=AB/4,

所以 AG=DH.

（2）旋转后,AG=DH 仍成立.

证明：在三角形AMG和三角形NBH中,

因为 角AGM=角NHB=90度,角AMG=角B=60度,

所以 三角形AMG相似于三角形NHB,

所以 HB/MG=NH/AG,即：MG乘NH=HB乘AG,

因为 DM垂直于DN于D,

所以 角MDN=90度,

所以 角MDG+角NDH=90度,

因为 NH垂直于AB于H,

所以 角DNH+角NDH=90度,

所以 角MDG=角DNH

在三角形MDG和三角形DNH中,

因为 角MDG=角DNH,角MGD=角DHN=90度,

所以 三角形MGD相似于三角形DHN,

所以 MG/DH=DG/NH 即：MG乘NH=DH乘DG,

所以 HB乘AG=DH乘DG,

因为 AD=BD=AB/2,

所以 HB=BD--DH=AB/2--DH,DG=AD--AG=AB/2--AG

所以 （AB/2--DH）乘AG=DH乘（AB/2--AG）,

（AB乘AG）/2--DH乘AG=（DH乘AB）/2--DH乘AG,

所以 AG=DH.