解题思路：（1）先由四边形ABCD是平行四边形，得出OA=OC，OB=OD，则OE=OF，又∵∠AOE=∠COF，利用SAS即可证明△AOE≌△COF；
（2）先证明四边形AGCH是平行四边形，再证明CG=AG，即可证明四边形AGCH是菱形．
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵BE=DF，
∴OE=OF，
在△AOE与△COF中，
OA＝OC
∠AOE＝∠COF
OE＝OF，
∴△AOE≌△COF（SAS）；
（2）由（1）得△AOE≌△COF，
∴∠OAE=∠OCF，
∴AE∥CF，
∵AH∥CG，
∴四边形AGCH是平行四边形；
∵AC平分∠HAG，
∴∠HAC=∠GAC，
∵AH∥CG，
∴∠HAC=∠GCA，
∴∠GAC=∠GCA，
∴CG=AG；
∴▱AGCH是菱形．
点评：
本题考点： 菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
考点点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的判定，难度适中，利用SAS证明△AOE≌△COF是解题的关键．