由递推式求数列通项七例
对于递推公式确定的数列的求解,通常可以通过递推公式的变换,转化为等差数列或等比数列问题,有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列.
类型1递推公式为
解法：把原递推公式转化为 ,利用累加法求解.
例1.已知数列 满足 ,求 .
由条件知：
分别令 ,代入上式得 个等式累加之,即
所以
又因为
所以
类型2递推公式为
解法：把原递推公式转化为 ,利用累乘法求解.
例2.已知数列 满足 ,求 .
由条件知 ,分别令 ,代入上式得 个等式累乘之,即
所以
又因为 ,所以 .
类型3递推公式为 （其中p,q均为常数, ）.
解法：把原递推公式转化为：
其中 ,再利用换元法转化为等比数列求解.
例3.已知数列 中, ,求 .
设递推公式
可以转化为
即 ,所以
故递推公式为
令 ,则
,且
所以 是以 为首项,2为公比的等比数列,则
所以
类型4递推公式为 （其中p,q均为常数, ）.
解法：该类型较类型3要复杂一些.一般地,要先在原递推公式两边同除以 ,得：
引入辅助数列 （其中 ）,得：
再应用类型3的方法解决.
例4.已知数列 中, ,求 .
在 两边乘以 得：
令 ,则
应用例3解法得：
所以
类型5递推公式为 （其中p,q均为常数）.
解法：先把原递推公式转化为
其中s,t满足 ,再应用前面类型的方法求解.
例5.已知数列 中, ,求 .
由 可转化为
即
所以 解得： 或
这里不妨选用 （当然也可选用 ,大家可以试一试）,则
所以 是以首项为 ,公比为 的等比数列
所以
应用类型1的方法,令 ,代入上式得 个等式累加之,即
又因为 ,所以 .
类型6递推公式为 与 的关系式.
解法：利用 进行求解.
例6.已知数列 前n项和 .
（1）求 与 的关系；
（2）求通项公式 .
（1）由 得：
于是
所以
即
（2）应用类型4的方法,上式两边同乘以 得：
由 ,得：
于是数列 是以2为首项,2为公差的等差数列,所以
故
类型7双数列型
解法：根据所给两个数列递推公式的关系,灵活采用累加、累乘、化归等方法求解.
例7.已知数列 中, ；数列 中, .当 时, ,求 .
因
所以
即
又因为
所以
即
由、得：