Question

设A为二阶方阵,且A的行列式=1,a11+a22>2,证明:A相似于对角矩阵

Answer 1

A相似于对角阵A的最小多项式无重根

λE-A=

λ-a11 -a12

-a21 λ-a22

D1=1

D2=|λE-A|=(λ-a11)(λ-a22)-a21a12

=λ^2-(a11+a22)λ+(a11a22-a21s12)

=λ^2-(a11+a22)λ+1

以上为一个二次函数f(λ),开口向上

判别式

△=(a11+a22)^2-4>0

故f(λ)=0有两个互异的根λ1,λ2

即f(λ)无重根,则A相似于对角阵

证毕