Question

三重积分计算：计算 ∫∫∫Ω√x²+y²+z² * dv ,其中Ω：x²+y

Answer 1

令x=rsinψcosθ,y=rsinψsinθ,z=rcosψ

那么

∫∫∫√(x²+y²+z²)dxdydz

=∫∫∫(r*r²sinψ)drdψdθ

=∫∫∫(r³sinψ)drdψdθ

积分区域：

由x²+y²+z²≤x得：0≤r≤sinψcosθ

0≤ψ≤π,-π/2≤θ≤π/2

∫∫∫(r³sinψ)drdψdθ

=∫dθ∫dψ∫(r³sinψ)dr

=(1/4)*∫(cosθ)^4dθ*∫(sinψ)^5dψ

在0≤ψ≤π上∫(sinψ)^5dψ,相当于0≤ψ≤π/2上2∫(sinψ)^5dψ=2*(4/5)*(2/3)=16/15

在-π/2≤θ≤π/2上∫(cosθ)^4dθ,相当于0≤ψ≤π/2上2∫(cosθ)^4dθ=2*(3/4)*(1/2)*(π/2)=3π/8

故,原式=(1/4)*∫(cosθ)^4dθ*∫(sinψ)^5dψ=(1/4)*(3π/8)*(16/15)=π/10