在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x 2 上异于 - 知识问答

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x 2 上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO（如图所示）．

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解（I）设△AOB的重心为G（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则
（1）∵OA⊥OB∴kOA●kOB=﹣1，即x₁x₂+y₁y₂=0，
（2）又点A，B在抛物线上，有y₁=x₁²，y₂=x₂²，
代入（2）化简得x₁x₂=﹣1
∴Y=
=
（x₁²+x₂²）=
[（x₁+x₂）²﹣2x₁x₂]=
×（3x）²+
=3x²+
．
所以重心为G的轨迹方程为y═3x²+
．
（II）S_△AOB=
|OA||OB|=
=
由（I）得S_△AOB=
≥
=
×2=1
当且仅当x₁²=x₂²即|x₁|=|x₂|=1时，等号成立．
所以△AOB的面积存在最小值，存在时求得最小值1

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