Question

为迎接国庆60周年，美化城市，某市将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，如图所示．要求B在AM上，D在A

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）设AN的长为x米，则矩形AMPN的面积S_AMPN可表示为x的函数，令S_AMPN＞32即可求得x的范围．

（Ⅱ）利用导数即可求得当x≥6时函数的最小值及相应的x值．

设AN的长为x米（x＞2）

∵

|DN|

|AN|＝

|DC|

|AM|，∴|AM|＝

3x

x−2

∴SAMPN＝|AN|•|AM|＝

3x2

x−2

（I）由S_AMPN＞32得

3x2

x−2＞32，

∵x＞2，∴3x²-32x+64＞0，即（3x-8）（x-8）＞0

∴2＜x＜

8

3或x＞8．

答：要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN长的取值范围是(2，

8

3)∪(8，+∞)．

（Ⅱ）令y＝

3x2

x−2，则y′＝

6x(x−2)−3x2

(x−2)2＝

3x(x−4)

(x−2)2，

当x＞4时，y′＞0，∴函数y=

3x2

x−2在（4，+∞）上单调递增，∴函数y＝

3x2

x−2在[6，+∞)上也单调递增．

∴当x=6时，y＝

3x2

x−2取得最小值27，即S_AMPN取得最小值27（平方米）．

此时|AN|=6米，|AM|=4.5米

答：当AM、AN的长度分别是4.5米，6米时，矩形AMPN的面积最小，最小面积是27平方米．

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的单调性；根据实际问题选择函数类型．

考点点评： 本题考查了根据实际问题建立数学函数模型、利用导数研究函数单调性及求最值问题．实际问题要注意答．