Question

证明：（y+z-2x）3+（z+x-2y）3+（x+y-2z）3=3（y+z-2x）（z+x-2y）（x+y-2z）．

Answer 1

解题思路：分析与证明此题看起来很复杂，但仔细观察，可以使用换元法：令y+z-2x=a，z+x-2y=b，x+y-2z=c，又由a³+b³+c³=3abc，即可求证得：（y+z-2x）³+（z+x-2y）³+（x+y-2z）³=3（y+z-2x）（z+x-2y）（x+y-2z）．

证明：令y+z-2x=a，①

z+x-2y=b，②

x+y-2z=c，③

则要证的等式变为

a³+b³+c³=3abc．

联想到乘法公式：

a³+b³+c³-3abc=（a+b+c）（a²+b²+c²-ab-bc-ca），

∴将①，②，③相加有：a+b+c=y+z-2x+z+x-2y+x+y-2z=0，

∴a³+b³+c³-3abc=0，

∴（y+z-2x）³+（z+x-2y）³+（x+y-2z）³=3（y+z-2x）（z+x-2y）（x+y-2z）．

点评：

本题考点： 整式的等式证明；对称式和轮换对称式．

考点点评： 此题考查了整式的等式证明．注意换元法也可以在恒等式证明中发挥效力．