Question

（2006•湖南）在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m时Pi＞Pj（即前面某数大于后面某数），

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）由排列21的逆序数a₁=1，排列321的逆序数a₂=3，排列4321的逆序数a₃=6得a₄=4+3+2+1=10，a₅=5+4+3+2+1=15，找出规律得到a_n即可；

（Ⅱ）利用基本不等式的到b₁+b₂+…+b_n＞2n；根据

b

n

＝

n

n+2

+

n+2

n

＝2+

2

n

−

2

n+2

，n＝1，2

，…，列举出各项得到b₁+b₂+…+b_n＜2n+3，即得证．

（Ⅰ）由排列21的逆序数a₁=1，排列321的逆序数a₂=3，排列4321的逆序数a₃=6，得a₄=4+3+2+1=10，a₅=5+4+3+2+1=15，所以a_n=n+（n-1）+…+2+1=

n(n+1)

2；

（Ⅱ）因为bn＝

an

an+1+

an+1

an＝

n

n+2+

n+2

n＞2

n

n+2•

n+2

n＝2，n＝1，2，…，

所以b₁+b₂+…+b_n＞2n．

又因为bn＝

n

n+2+

n+2

n＝2+

2

n−

2

n+2，n＝1，2，…，

所以b₁+b₂+…+b_n=2n+2[（[1/1−

1

3]）+（[1/2−

1

4]）+…+（[1/n−

1

n+2]）]=2n+3−

2

n+1−

2

n+2＜2n+3．

综上，2n＜b₁+b₂+b_n＜2n+3，n=1，2，…

点评：

本题考点： 数列的应用；数列的求和．

考点点评： 考查学生会利用数列求和的方法证明不等式成立，会利用基本不等式求函数的最小值．