Question

已知点A（0，2）和B（0，-2），过点A的直线与过点B的直线交于点P，若直线PA、PB的斜率之积为1．

Answer 1

解题思路：（1）设动点P（x，y），得k_PA•k_PB=

y−2

x

•

y+2

x

＝1

，由此能求出动点P的轨迹方程．

（2）设直线l的方程为x=my+2，代入y²-x²=4，x≠0，得：（1-m²）y²-4my-8=0，由此能求出x₀的取值范围．

（1）设动点P（x，y），

∵点A（0，2）和B（0，-2），

∴k_PA•k_PB=[y−2/x•

y+2

x＝1，x≠0，

∴y²-x²=4，x≠0．

∴动点P的轨迹方程C：y²-x²=4，x≠0．

（2）设直线l的方程为x=my+2，

代入y²-x²=4，x≠0，得：（1-m²）y²-4my-8=0，

依题意，得：1-m²≠0，△=16m²+32（1-m²）＞0，设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），

y1+y2＝

4m

1−m2＜0，y1y2＝

−8

1−m2＞0，

解得1＜m＜

2]，

点M的坐标（x_M，y_M），yM＝

y1+y2

2＝

2m

1−m2，xM＝m•

2m

1−m2+2＝

2

1−m2，

直线BM的方程为：y+2=（-m²+m+1）x，

令y=0，∵m∈（1，

2），

∴x0＝

2

−m2+m+1=[2

−(m−

1/2)2+

5

4]∈（2，2+2

2）．

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．

考点点评： 本题考查动点的轨迹的求法，考查点的横坐标的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．