Question

如图,三个半径均为根号3的圆两两外切,且ΔABC的每一边都与其中的两个圆相切.

Answer 1

设圆心分别为O1(上面),O2(左边),O3(右边),半径为r=√3

圆O1切AB于D,切AC于E,圆O2切AB于G,圆O3切AC于F

由已知,可知△O1O2O3为等边三角形(三边都是半径的2倍)

O1D⊥AB于D,O2G⊥AB于G,则 O1D//O2G 且O1D=O2G=r

所以,四边形DO1O2G是平行四边形 又 O1D⊥AB于D

故 四边形DO1O2G是矩形 同理O1EFO3是矩形

则 ∠DO1O2=∠EO1O3=90° 从而,∠O3O1O2+∠DO1E=180°

在四边形ADO1E中,∠ADO1=∠AEO1=90° ∴ ∠DO1E+∠A=180°

故 ∠A=∠O3O1O2=60°(等边三角形性质) ∠B,∠C同理

故 △ABC为等边三角形

周长为AB+AC+BC=3(3+2√3+3)=18+6√3