设：这19个数中的第10个数为X,则这19个数分别为：X-9,X-8,X-7,X-6,X-5,X-4,X-3,X-2,X-1,X,X+1,X+2,X+3,X+4,X+5,X+6,X+7,X+8,X+9.
根据题可得：X-9+X-8+X-7+X-6+X-5+X-4+X-3+X-2+X-1+X+X+1+X+2+X+3+X+4+X+5+X+6+X+7+X+7+8+X+9=589
即：19X=589
故：X=31
所以这19个数后面的19个连续自然数依次为：41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54,55,56,57,58,59.
其和为：950.