过直线l:x+y-6=0上一点P(4,2)作圆O:x2+y2=4的两条切线,切点为A、B,求:

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  • 解题思路:(1)由题意知OA⊥PA,BO⊥PB,四边形AOBP的四个顶点在同一个圆上,此圆的直径是OP,△ABP外接圆就是四边形AOBP的外接圆;

    (2)要使切线长的最小,则必须点O到直线的距离最小.

    由题意知,OA⊥PA,BO⊥PB,∴四边形AOBP有一组对角都等于90°,

    ∴四边形AOBP的四个顶点在同一个圆上,此圆的直径是OP,OP的中点为(2,1),OP=2

    5,

    ∴四边形AOBP的外接圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5,

    ∴△ABP的外接圆方程为 (x-2)2+(y-1)2=5.

    (2)要使切线长的最小,则必须点O到直线的距离最小.

    ∵圆心O到直线x+y-6=0的距离d=

    6

    2=3

    2,

    ∴切线长的最小值为

    (3

    2)2−1=

    17.

    点评:

    本题考点: 直线和圆的方程的应用.

    考点点评: 本题考查圆的标准方程的求法,把求△AOB外接圆方程转化为求四边形AOBP的外接圆方程,体现了转化的数学思想.解题的关键是找出切线长最短时的条件.