解题思路:(1)由题意知OA⊥PA,BO⊥PB,四边形AOBP的四个顶点在同一个圆上,此圆的直径是OP,△ABP外接圆就是四边形AOBP的外接圆;
(2)要使切线长的最小,则必须点O到直线的距离最小.
由题意知,OA⊥PA,BO⊥PB,∴四边形AOBP有一组对角都等于90°,
∴四边形AOBP的四个顶点在同一个圆上,此圆的直径是OP,OP的中点为(2,1),OP=2
5,
∴四边形AOBP的外接圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5,
∴△ABP的外接圆方程为 (x-2)2+(y-1)2=5.
(2)要使切线长的最小,则必须点O到直线的距离最小.
∵圆心O到直线x+y-6=0的距离d=
6
2=3
2,
∴切线长的最小值为
(3
2)2−1=
17.
点评:
本题考点: 直线和圆的方程的应用.
考点点评: 本题考查圆的标准方程的求法,把求△AOB外接圆方程转化为求四边形AOBP的外接圆方程,体现了转化的数学思想.解题的关键是找出切线长最短时的条件.