Question

一道北大自主招生数学题是否存在x,使tanx+根3 与cotx+根3是有理数?

Answer 1

设 tgx = t,cotx = 1/t tanx+根3 = a cotx+根3 = b a,b 均为有理数.(a - 根3)(b - 根3) = t * 1/t = 1 ab + 3 - (a+b)*根3 = 1 (a+b) * 根3 = 2 + ab a+b 是有理数,2 + ab 也是有理数 ,而 根3 是无理数,若想让上式成立,只有 a + b = 0 则 ab = -2 而这样的 a,b 不是有理数,矛盾.所以不存在这样的 x .