解题思路：（1）由已知条件可知：函数f（x）有最小值-2=−4a−b24a，a＞0；其函数图象关于直线x=-1对称，即−1＝−b2a，解出即可；（2）利用导数对k分类讨论即可求出．
（1）由函数f（x）=ax2+bx-1满足以下两个条件：
①函数f（x）的值域为[-2，+∞）；②任意x∈R，恒有f（-1+x）=f（-1-x）成立．
所以可知：函数f（x）有最小值-2=
−4a−b2
4a，a＞0；其函数图象关于直线x=-1对称，即−1＝−
b
2a，
联立
−2＝
−4a−b2
4a
a＞0
−1＝−
b
2a，解得
a＝1
b＝2
∴f（x）=x2+2x-1．
（2）由（1）可知：F（x）=（1-k）x2-2（1+k）x+k-1．
当k=1时，F（x）=-4x在[-2，2]上是减函数，故k=1满足条件．
当k≠1时，F′（x）=2（1-k）x-2（1+k）=2(1−k)(x−
1+k
1−k)
当满足
k＞1
−2≥
1+k
1−k时，即1＜x≤3时，F（x）在[-2，2]上单调递减；
当满足
k＜1
2≤
1+k
1−k时，即
1
3≤k＜1时，F（x）在[-2，2]上单调递减；
综上可知：实数k的取值范围是
1
3≤k≤3．
点评：
本题考点： 二次函数的性质．
考点点评： 充分利用二次函数的单调性、对称性和导数解决函数的单调性是解题的关键．