Question

设数列{an}的前n项和为Sn，a1=10，an+1=9Sn+10，

Answer 1

解题思路：（1）利用a_n与s_n的关系得，a_n+1=9S_n+10，a_n=9S_n-1+10，两式作差即可证得数列{a_n}是以10为首项，10为公比的等比数列，进而求得a_n=a₁q^n-1=10ⁿ，lga_n=n，

（2）利用裂项相消法求得T_n，T_n≥[3/2]，依题意有[3/2]＞[1/4]（m²-5m），解不等式即可得出结论．

（1）依题意，

当n=1时，a₂=9S₁+10=9×10+10=100；

当n≥2时，由a_n+1=9S_n+10，a_n=9S_n-1+10，

可得a_n+1-a_n=9a_n，即a_n+1=10a_n，此式对于n=1时也成立．

∴数列{a_n}是以10为首项，10为公比的等比数列，

∴a_n=a₁q^n-1=10ⁿ，∴lga_n=n，

∴[1

(lgan)(lgan+1)=

1

n(n+1)=

1/n]-[1/n+1]，

（2）T_n=3（1-[1/2]+[1/2]−

1

3+…+[1/n]-[1/n+1]）=3（1-[1/n+1]）=3-[3/n+1]，

∴T_n≥[3/2]，

依题意有[3/2]＞[1/4]（m²-5m），解得-1＜m＜6，

故所求最大正整数m的值为5．

点评：

本题考点： 数列的求和．

考点点评： 本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．考查了学生对数列基础知识的综合把握．