Question

在计算“1×2+2×3+…n（n+1）”时，先改写第k项：

Answer 1

（1）∵n（n+1）（n+2）=

1

4 [n（n+1）（n+2）（n+3）-（n-1）n（n+1）（n+2）]

∴1×2×3=

1

4 （1×2×3×4-0×1×2×3）

2×3×4=

1

4 （2×3×4×5-1×2×3×4）

…

n（n+1）（n+2）=

1

4 [n（n+1）（n+2）（n+3）-（n-1）n（n+1）（n+2）]

∴1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=

1

4 [（1×2×3×4-0×1×2×3）+（2×3×4×5-1×2×3×4）+…+n×（n+1）×（n+2）×（n+3）-（n-1）×n×（n+1）×（n+2）=

1

4 n（n+1）（n+2）（n+3）

（2）利用数学归纳法证：1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=

1

4 n（n+1）（n+2）（n+3）

①当n=1时，左边=1×2×3，右边=

1

4 ×1×2×3×4 =1×2×3，左边=右边，等式成立．

②设当n=k（k∈N ^*）时，等式成立，

即1×2×3+2×3×4+…+k×（k+1）×（k+2）=

k(k+1)(k+2)(k+3)

4 ．

则当n=k+1时，

左边=1×2×3+2×3×4+…+k×（k+1）×（k+2）+（k+1）（k+2）（k+3）

=

k(k+1)(k+2)(k+3)

4 +（k+1）（k+2）（k+3）

=（k+1）（k+2）（k+3）（

k

4 +1）

=

(k+1)(k+2)(k+3)(K+4)

4

=

(k+1)(k+1+1)(k+1+2)(k+1+3)

4 ．

∴n=k+1时，等式成立．

由①、②可知，原等式对于任意n∈N ^*成立．