如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=16.∠BAC的平分线AD交BC于D,经过A、D两点的⊙O交AB

1个回答

  • (1)证明:连接OD,

    ∵OA=OD,

    ∴∠OAD=∠ODA.(1分)

    ∵AD平分∠BAC,

    ∴∠OAD=∠CAD.(2分)

    ∴OD ∥ AC.(3分)

    ∵∠C=90°,

    ∴OD⊥BC于D.

    ∴BC是⊙O的切线.(4分)

    (2)过D作DG⊥AB于G,

    ∴DG=DC,AG=AC.(5分)

    设DC=x,则BD=16-x,BG=8,

    ∴8 2+x 2=(16-x) 2

    ∴x=6.(6分)

    设半径为r,则(12-r) 2+6 2=r 2

    ∴r=7.5.

    ∴EG=3.(7分)

    连接DE,DF,易证△DGE≌△DCF,

    ∴CF=3,

    ∴AF=9.(8分)

    (2)证法2:(如图)连OD,OF,作OM⊥AF于M;

    设DC=x,(x的求法同于前面)

    ∴x=6;

    ∵OM⊥AF,OD⊥BC,则MC=OD=R,OM=DC=6,AM=12-R,

    ∴R 2=(12-R) 2+6 2

    ∴R=7.5,

    ∴AM=12-7.5=4.5,

    ∴AF=2AM=9.

    证法3:(如图)连EF,与OD交于H点,

    设DC=x

    ∴x=6,(求法同前);

    在Rt△BOD中,BO=20-R,OD=R,BD=10;

    ∴(20-R) 2=R 2+10 2

    ∴R=7.5,

    ∴AE=15;

    ∵EF=2FH=2CD=12,

    在Rt△EAF中,AF 2=AE 2-EF 2=15 2-12 2=81,

    ∴AF=9.

    证法4,(如图)连EF;设DC=x,

    ∴x=6,(求法同前)

    ∴EF=2FH=2CD=12;

    ∵S △BEF+S 梯形EFCB=S △ABC

    1

    2 EF•BF+

    1

    2 (EF+BC)•(AC-AF)=

    1

    2 AC•BC ,

    ∴AF=9.

    1年前

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