已知{an}是一个公差大于0的等差数列,且满足a3a6=55,a2+a7=16.

5个回答

  • 解题思路:(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d,d>0,利用等差数列的通项表示已知,求解出d,a1,结合等差数列的通项即可求解

    (Ⅱ)由b1=1,b2=2可求

    b

    n

    2

    n−1

    c

    n

    a

    n

    b

    n

    =(2n−1)•

    2

    n−1

    ,结合数列的特点,考虑利用错位相减求解数列的和

    (Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d,则依题设d>0

    由a2+a7=16.得2a1+7d=16①---------------(1分)

    由a3a6=55得(a1+2d)(a1+5d)=55②---------------(2分)

    由①得2a1=16-7d将其代入②得(16-3d)(16+3d)=220.

    即256-9d2=220

    ∴d2=4,又d>0

    ∴d=2,代入①得a1=1,---------------(3分)

    ∴an=1+(n-1)•2=2n-1.------------------(4分)

    (Ⅱ)b1=1,b2=2

    ∴bn=2n−1

    ∴cn=an•bn=(2n−1)•2n−1,---------------(5分)

    Sn=1•20+3•21+…+(2n−1)•2n−1

    2Sn=1•21+3•22+…+(2n−1)•2n---------------(6分)

    两式相减可得:−Sn=1•20+2•21+2•22+…+2•2n−1−(2n−1)•2n

    =1+2×

    2(1−2n−1)

    1−2-(2n-1)•2n

    ∴−Sn=1+

    4(1−2n−1)

    1−2−(2n−1)•2n=1+2n+1−4−(2n−1)•2n=2n+1-3-(2n-1)•2n---------------(7分)

    ∴Sn=3+(2n−1)•2n−2n+1=3+(2n−3)•2n---------------(8分)

    点评:

    本题考点: 数列的求和;等差数列的通项公式.

    考点点评: 本题主要考查了利用首项及公差表示等差数列的项,解答此类问题的关键是熟练应用通项公式,错位相减求解数列的和是数列求和的难点.