Question

在R上定义运算⊗：x⊗y=x（l-y）．若对任意x＞2，不等式（x-a）⊗x≤a+2都成立，则实数a的取值范围是（　　）

Answer 1

解题思路：由x⊗y=x（1-y），把（x-a）⊗x≤a+2转化为（x-a）（1-x）≤a+2，由任意x＞2，不等式（x-a）⊗x≤a+2都成立，知a≤

x

2

−x+2

x−2

，构造函数

f（x）=

x

2

−x+2

x−2

，由x＞2，知a≤[f（x）]_min，由此可得实数a的取值范围．

∵x⊗y=x（1-y），

∴（x-a）⊗x≤a+2转化为（x-a）（1-x）≤a+2，

∴-x²+x+ax-a≤a+2，

a（x-2）≤x²-x+2，

∵任意x＞2，不等式（x-a）⊗x≤a+2都成立，

∴a≤

x2−x+2

x−2．

令f（x）=

x2−x+2

x−2，x＞2，

则a≤[f（x）]_min，

而f（x）=

x2−x+2

x−2=

(x−2)2+3(x−2)+4

x−2=（x-2）+[4/x−2]+3

≥2

(x−2)•

4

x−2+3=7，

当且仅当x=4时，取最小值．

∴a≤7．

故选：C．

点评：

本题考点： 数列的求和．

考点点评： 本题考查了在新定义下对函数恒成立问题的应用，解答此题的关键是理解定义，并会用定义来解题，属中档题．