Question

设v1和v2分别是齐次方程组X1+2X2+3X3+nXn=0与X1=X2=,=Xn的解空间.证明：P n=V1+V2

Answer 1

显然X1=X2=,=Xn的通解是ka,a=（1,1,1,1,.1）.

如果X1+2X2+3X3+nXn=0的解空间V1包含X1=X2=,=Xn的解空间V2,那么就是

a=（1,1,1,1,.1）能用.X1+2X2+3X3+nXn=0的解向量线性表示.

换言之,a是方程X1+2X2+3X3+nXn=0的解,但是代入之后发现等式不成立,因此

X1+2X2+3X3+nXn=0的解空间V不包含X1=X2=,=Xn的解空间.

考虑到V1的维度是n-1维的,V2的维度是1,并且V1并不包含V2那么必然有Pn=V1+v2