如图1,在等边△ABC中,AD⊥BC于点D,一个直径与AD相等的圆与BC相切于点E、与AB相切于点F,连接EF.

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  • 解题思路:(1)根据∠EFB与∠FEB都是弦切角,可得△ABC是等边三角形,∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°,即△BFE为等边三角形,所以求得∠BAC=∠BFE,∠BCA=∠BEF,可证明EF∥AC;

    (2)根据圆切BC于E,EG为直径,AD=EG,AD⊥BC,可判定四边形ADEG为矩形;

    (3)由(1)(2)的结论,证明AC垂直平分FG;再根据垂径定理,可知AC必过圆心,又EG为直径,所以AC与GE的交点O为此圆的圆心.

    (1)EF∥AC;

    (2)四边形ADEG为矩形;

    理由:

    ∵EG⊥BC,E为切点,

    ∵BC为圆O的切线,

    ∴EG为直径,

    ∴EG=AD;

    又∵AD⊥BC,EG⊥BC,

    ∴AD∥EG,

    由EG=AD,AD∥EG,

    得出四边形ADEG为平行四边形,

    ∵∠ADE=90°,

    ∴平行四边形ADEG为矩形;

    (3)证明:连接FG,由(2)可知EG为直径,

    ∴FG⊥EF;

    又由(1)可知EF∥AC,

    ∴AC⊥FG;

    又∵四边形ADEG为矩形,

    ∴EG⊥AG,

    ∴AG是已知圆的切线;

    ∵AF=AG,

    ∴AC是FG的垂直平分线,故AC必过圆心,(从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线,平分两条切线的夹角,根据等腰三角形三线合一定理即可得出AC垂直平分FG)

    ∴圆心O就是AC与EG的交点.

    点评:

    本题考点: 切线的性质;等边三角形的性质;矩形的判定;垂径定理.

    考点点评: 本题综合考查了切线的性质和垂径定理.要熟练掌握矩形的判定和圆中的有关性质才能灵活的解题.