Question

已知∫[0,+∞]x^(-1/2)e^(-x)dx=√π,求I=∫[-∞,∞]x^2e^(-x^2)dx

Answer 1

在已知条件里令x=t^2(t>0)

则∫(0→+∞)e^(-t^2)/t*2tdt=√π

∫(0→+∞)e^(-t^2)dt=√π/2

因为e^(-t^2)是偶函数

所以∫(-∞→+∞)e^(-t^2)dt=∫(-∞→0)e^(-t^2)dt+∫(0→+∞)e^(-t^2)dt=2∫(0→+∞)e^(-t^2)dt=√π

原式=-1/2*∫(-∞→+∞)xe^(-x^2)d(-x^2)

=-1/2*∫(-∞→+∞)xd(e^(-x^2))

=-xe^(-x^2)/2|(-∞→+∞)+1/2*∫(-∞→+∞)e^(-x^2)dx

=0+√π/2

=√π/2