Question

过抛物线y2=4x的焦点，作倾斜角为[3π/4]的直线交抛物线于P，Q两点，O为坐标原点，求△POQ的面积．

Answer 1

解题思路：由题设条件求出直线PQ：y=-x+1，把直线PQ与抛物线联立方程组，求出|PQ|，再由点到直线的距离公式求出原点到直线PQ的距离，由此能求出△POQ的面积．

设F为抛物线焦点y²=4x，则F（1，0），

∵直线PQ过F（1，0），倾斜角α＝

3π

4，

∴直线PQ：y=tan[3π/4]（x-1）=-x+1，

由

y＝−x+1

y2＝4x，得y²+4y-4=0，

设P（x1，y1 ），Q（x₂，y₂），

则y₁+y₂=-4，y₁y₂=-4，

∴|PQ|=

(1+1)[(−4)2−4×(−4)]=8，

∵原点O（0，0）到直线PQ：y=-x+1的距离d=

|−1|

1+1=

2

2，

∴S_△POQ=[1/2]|PQ|d=

1

2×8×

2

2=2

点评：

本题考点： 抛物线的简单性质．

考点点评： 本题考查三角形的面积的求法，是中档题，解题时要注意椭圆弦长公式和点到直线的距离公式的灵活运用．