Question

如图在△ABC的长边AB上取AN=AC，BM=BC，点I为三角形ABC的内心 求证：

Answer 1

解题思路：（1）根据题意，可证△MBI≌△CBI，则MI=CI；同理，可证NI=CI，所以MI=NI=CI，因此点I是△MNC的外心；

（2）首先根据△MBI≌△CBI，可得∠BMI=∠BCI，同理，可得∠ANI=∠ACI，又因为∠MIN+∠BMI+∠ANI=180°，∠ABC+∠BAC+∠ACI+∠BCI=180°，所以∠MIN=∠ABC+∠BAC．

证明：（1）如图，∵点I是△ABC的内心，

∴∠MBI=∠CBI，BM=MC，BI=BI，

∴△MBI≌△CBI，

则MI=CI；

同理，可证NI=CI，

所以MI=NI=CI，

因此点I是△MNC的外心；

（2）因为△MBI≌△CBI，

所以∠BMI=∠BCI，

同理，可得∠ANI=∠ACI，

又因为∠MIN+∠BMI+∠ANI=180°，

∠ABC+∠BAC+∠ACI+∠BCI=180°，

所以∠MIN=∠ABC+∠BAC．

点评：

本题考点： 圆內接多边形的性质与判定．

考点点评： 本题主要考查了三角形外接圆的判定，考查了三角形的内心的性质，以及三角形全等的判定，属于中档题，解答此题的关键是正确区分三角形的内外心．