Question

试说明：当x为整数时,（x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1是一个整数的完全平方数.

Answer 1

（证明：x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1

=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1

=(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)+1

使x^2+5x=t

=(t+4)(t+6)+1

=t^2+10t+25

=(t+5)^2

=(x^2+5x+5)^2

∴整数(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1必为完全平方数

注：”^2”为平方的意思

注：”^2”为平方的意思