Question

如图，将边长为a的正六边形A1A2A3A4A5A6在直线l上由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当A1第一次滚动到

Answer 1

解题思路：连A1A5，A1A4，A1A3，作A6C⊥A1A5，利用正六边形的性质分别计算出A1A4=2a，A1A5=A1A3=3a，而当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径分别是以A6，A5，A4，A3，A2为圆心，以a，3a，2a，3a，a为半径，圆心角都为60°的五条弧，然后根据弧长公式进行计算即可．

连A₁A₅，A₁A₄，A₁A₃，作A₆C⊥A₁A₅，如图，

∵六边形A₁A₂A₃A₄A₅A₆为正六边形，

∴A₁A₄=2a，∠A₁A₆A₅=120°，

∴∠CA₁A₆=30°，

∴A₆C=[1/2]a，A₁C=

3

2a，

∴A₁A₅=A₁A₃=

3a，

当A₁第一次滚动到图2位置时，顶点A₁所经过的路径分别是以A₆，A₅，A₄，A₃，A₂为圆心，

以a，

3a，2a，

3a，a为半径，圆心角都为60°的五条弧，

∴顶点A₁所经过的路径的长=

4+2

3

3πa，

故答案为：

4+2

3

3πa．

点评：

本题考点： 弧长的计算；正多边形和圆；旋转的性质．

考点点评： 本题考查了弧长公式：l=nπr180，也考查了正六边形的性质以及旋转的性质，难度一般．