问得好!
1、一般来说,极限是导数的基础；
2、导数的各个基本公式、基本法则,都必须用极限才能证明,
譬如,sinx的导数是cosx,lnx的导数是1/x,、、、、
再如,积的的求导法则,商的求导法则,链式求导法则、、、
它们的证明,都离不开极限.可以说没有极限理论,就没有导数理论,
同样也就没有积分的理论,也就没有微积分了.
3、我们的历史上有诡辩学,西方有paradox,异曲同工.
可是我们一贯的态度,是把诡辩学当成是荒谬的,时至今时今日,
很多教师讲授诡辩学时,仍然以蔑视的态度,误导学生.正因为
此,我们祖先并不落人后,可是我们却远远落后在现代数学、现
代科学的外围.西方人却由此建立的极限理论,将解析几何发展
出了微积分.极限是纽带,是分水岭,导数是分水岭对面的第一
个桥头堡,从此,我们的落后就越来越明显了,差距越拉越大,
差距现在还在加剧之中.
4、如果从理论体系来说,要精通导数,必须先精通极限,虽是基础,
是工具,但是从理论的整体来说,导数包含极限.它们的关系是
前后关系,是逻辑关系.
若单从极限理论来说,导数是它的应用,积分也是它的应用,譬如,
积分的基本定理的推导,基本公式的推导,离不开极限；即使是积
分的过程中,而不是积分定理、公式的推导中,也离不开极限,譬
如广义积分,也就是英文中的improper integral,代入上下限时,
没有极限,是困难重重的.所以,可以说导数、积分都是极限理论
的应用.极限理论包括导数.它们的关系是基础与应用的关系.
作为大学理工科必修功课的微积分来说,微积分包括微分与积分,
微分几乎与导数同义,在这样的框架中,导数包括极限.
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