Question

在△ABC中，AB=15，AC=20，高AD=12，AE为角平分线，则线段AE的长为______．

Answer 1

解题思路：因为三角形BC边上的高AD位置不确定，所以要分两种情况分类即高AD在三角形ABC的外边和 高AD在AC的右边时，分别求出线段AE的长即可．

（1）高AD在三角形ABC的外边：

在直角三角形ABD中根据勾股定理得：BD=9，CD=16

∴BC=9+16=25，

∵BC²=625，AB²=225，AC²=400，

∴AC²+AB²=BC²

∴∠A=90，

∵AE为角平分线，

∴∠BAE=45°，

∴sinB=[4/5]，

根据角平分线定理：

[AB/AC＝

BE

CE＝

3

4]，

∴BE=[75/7]，

在三角形ABE中由正弦定理得，[AE/sin60°＝

BE

sin45°]

∴AE=

60

2

7；

（2）高AD在AC的右边：BD=9，CD=16，

∴BC=16-9=7，

在ABC中根据角平分线定理，

∵[AB/AC＝

BE

CE＝

3

4]

∴BE=3，CE=4

在ABE中用余弦定理：

AE²=AB²+BE²-2AB•BE•cos∠ABE=288

∴AE=12

2，

故答案为：

60

2

7或12

2．

点评：

本题考点： 勾股定理；角平分线的性质．

考点点评： 本题考查了勾股定理的运用以及勾股定理逆定理的运用、角平分线性质定理、特殊角的锐角三角函数、正选定理和余弦定理的运用，题目的综合性较强，难度较大．