解题思路：（1）求函数f（x）的定义域，就是）求
x+
a
x
−2＞0
，可以通过对a分类讨论解决；
（2）可以构造函数
g(x)＝x+
a
x
−2
，当a∈（1，4）时通过导数法研究g（x）在[2，+∞）上的单调性，再利用复合函数的性质可以求得f（x）在[2，+∞）上的最小值；
（3）对任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，即
x+
a
x
−2＞1
对x∈[2，+∞）恒成立，转化为a是x的函数，即可求得a的取值范围．
（1）由x+
a
x−2＞0得，
x2−2x+a
x＞0
解得a＞1时，定义域为（0，+∞）
a=1时，定义域为{x|x＞0且x≠1}，
0＜a＜1时，定义域为{x|0＜x＜1−
1−a或x＞1+
1−a}
（2）设g(x)＝x+
a
x−2，当a∈（1，4），x∈[2，+∞）时，
g′(x)＝1−
a
x2＝
x2−a
x2＞0恒成立，
∴g(x)＝x+
a
x−2在[2，+∞）上是增函数，
∴f(x)＝lg(x+
a
x−2)在[2，+∞）上是增函数，
∴f(x)＝lg(x+
a
x−2)在[2，+∞）上的最小值为f(2)＝lg
a
2；
（3）对任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，
即x+
a
x−2＞1对x∈[2，+∞）恒成立
∴a＞3x-x2，而h(x)＝3x−x2＝−(x−
3
2)2+
9
4在x∈[2，+∞）上是减函数，
∴h（x）max=h（2）=2，∴a＞2
点评：
本题考点： 函数恒成立问题；对数函数的定义域；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 本题考查函数恒成立问题，（1）着重考查分类讨论思想；（2）着重考查复合函数的函数单调性质求最值，方法为导数法；（3）着重考查分离参数法，是一道好题．