Question

设A为n阶实对称矩阵.1.证明A的平方+E也为实对称矩阵2.证明:A的平方+E为正定阵其中E为n阶单位阵

Answer 1

由已知,A^T = A

1.(A^2+E)^T = A^2+E

2.对任一n维向量 x ≠ 0,x^Tx > 0,(Ax)T(Ax)>=0

所以 x^T(A^2+E)x = (x^TA)(Ax) + x^Tx = (Ax)^T(Ax) + x^Tx >0

所以 A^2+E 正定.