在数列{an}中，已知a1=[7/2]，an=3a - 知识问答

在数列{an}中，已知a1=[7/2]，an=3an-1+3n-1（n≥2，n∈N*）．

1个回答

解题思路：（Ⅰ）由已知条件，分别令n=2，n=3，利用递推思想能求出a₂，a₃．
（Ⅱ）由
a
n
＝3
a
n−1
+
3
n
−1
，推导出
a
n
−
1
2
3
n
−
a
n−1
−
1
2
3
n−1
为常数，能够证明{
a
n
−
1
2
3
n
}是等差数列．
（Ⅲ）求出等差数列
{
a
n
−
1
2
3
n
}
的通项公式，能够推导出数列{a_n}的通项公式，再利用错位相减法能求出数列{a_n}的前n项和S_n．
（本题满分14分）
（Ⅰ）∵a₁=[7/2]，a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n≥2，n∈N^*），
∴a2＝3×
7
2+32−1=[37/2]，
a3＝3×
37
2+33 −1=[163/2]．…（2分）
（Ⅱ）证明：∵an＝3an−1+3n−1（n≥2，n∈N^*）
∴
an−
1
2
3n−
an−1−
1
2
3n−1
=
(an−
1
2)−(an−1−
3
2)
3n＝
an−3an−1+1
3n
=
(3an−1+3n−1)−3an−1+1
3n
=
3n
3n＝1为常数
∴{
an−
1
2
3n}是等差数列，且公差为1．…（6分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知{
an−
1
2
3n}是等差数列，且公差为1，且a1＝
7
2
∴
点评：
本题考点：数列的求和．
考点点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要注意递推思想和错位相减求和法的合理运用．

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