如图,作三条辅助线,过A点作BP的垂线交BP于M,在BC的延长线上找一点Q,使得QM⊥BM,联结AQ,我们最后要证明△MAQ是直角三角形且AM⊥AQ.
设AB长度为1
△ABP为等腰直角三角形,AM为中垂线,AM=BM=√2 /2
∵ PB⊥AMPB⊥QM
∴ PB⊥AQ(PB垂直平面AMQ内的任意直线)
∵ AQ⊥PBAQ⊥AP
∴ AQ⊥平面ABP
所以,AQ⊥AM,AQ⊥AB.△ABQ和△AMQ都是以A为直角顶的直角三角形.
在Rt△ABQ中,AQ=AB*tg30°=√3 /3
在Rt△AMQ中,MQ²=AM²+AQ²=1/2 + 1/3 =5/6MQ=√30 /6
∠AMQ即平面APB与平面PBC的夹角
sin∠AMQ = AQ/MQ =(√3 /3) / (√30 /6) = (√10)/5