Question

设函数f(x),g(x)在(a,b)内可导,对任意的x∈(a,b),g(x)≠0,并且在(a,b)内f(x)g'(x)-

Answer 1

令F(x)=f(x)/g(x)(※因为g(x)≠0)

f(x)g'(x)-f'(x)g(x)=0可变形为f'(x)g(x)-f(x)g'(x)=0.

求导可得F'(x)=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/g(x)^2

由于g(x),f(x)在[a,b]内连续且在(a,b)内可导(※因为函数可导必连续,而连续不一定可导).所以F(x)在[a,b]内连续且在(a,b)内可导,因为f'(x)g(x)-f(x)g'(x)=0故F'(x)=0,也即[f(x)/g(x)]'=0

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