Question

证明：f(x)在集D上有界的充要条件是它在D上既有上界又有下界

Answer 1

必要性：若f(x)在集D上有界

则：存在M>0,任给x∈D,都有|f(x)|≤M,即

-M≤f(x)≤M.

由此：f(x)在D上既有上界又有下界；

充分性：若f(x)在D上既有上界又有下界

则分别存在M>0,N>0,对于任给的x∈D,

分别有f(x)≤M且-N≤f(x)

取A=max{M,N},则必有：f(x)≤M≤A,且-A≤-N≤f(x)

即：-A≤f(x)≤A,

也就是：|f(x)|≤A.

所以,f(x)在集D上有界.