已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=AD=2,BC=4.求∠B的度数及AC的长.

5个回答

  • 解题思路:解法一:分别作AF⊥BC,DG⊥BC,F、G是垂足,把梯形转换成矩形和两个直角三角形,首先利用梯形的性质和已知条件证明Rt△AFB≌Rt△DGC,然后在Rt△AFB中解直角三角形即可求出所求线段;

    解法二:过A点作AE∥DC交BC于点E,把梯形的问题转换成平行四边形和等边三角形,然后利用等边三角形的性质和三角函数的定义即可求出所求线段.

    解法一:分别作AF⊥BC,DG⊥BC,F、G是垂足,

    ∴∠AFB=∠DGC=90°,AF∥DG,

    ∵AD∥BC,

    ∴四边形AFGD是矩形.

    ∴AF=DG,

    ∵AB=DC,

    ∴Rt△AFB≌Rt△DGC.

    ∴BF=CG,

    ∵AD=2,BC=4,

    ∴BF=1,

    在Rt△AFB中,

    ∵cosB=[BF/AB]=[1/2],

    ∴∠B=60°,

    ∵BF=1,

    ∴AF=

    3,

    ∵FC=3,

    由勾股定理,

    得AC=2

    3,

    ∴∠B=60°,AC=2

    3.

    解法二:过A点作AE∥DC交BC于点E,

    ∵AD∥BC,

    ∴四边形AECD是平行四边形.

    ∴AD=EC,AE=DC,

    ∵AB=DC=AD=2,BC=4,

    ∴AE=BE=EC=AB,

    即AB=BE=AE,AE=CE,

    ∴△BAC是直角三角形,△ABE是等边三角形,

    ∴∠BAE=60°=∠AEB,∠EAC=∠ACE=[1/2]∠AEB=30°,

    ∴∠BAC=60°+30°=90°,∠B=60°.

    在Rt△ABC中,

    AC=ABtan∠B=AB•tan60°=2

    3,

    ∴∠B=60°,AC=2

    3.

    点评:

    本题考点: 梯形;解直角三角形.

    考点点评: 此题主要考查了梯形的常用辅助线:作梯形的高和平移腰,把梯形的问题转换成直角三角形或等边三角形的问题,然后利用解直角三角形的知识和等边三角形的性质解决问题.