Question

在平面直角坐标系xoy中,已知椭圆的离心率为根号2/2,左焦点为F,过原点的直线l交椭圆于M、N两点

Answer 1

设P（x,y）,A（x₁,y₁）,B（x₂,y₂）,把点A,B代入椭圆方程可得 x212+y21＝1③,x222+y22＝1④,又Q（m,n）是单位圆x²+y²=1上任一点可得m²+n²=1⑤,

由 OP＝m OA+n OB,得到 x＝mx1+nx2y＝my1+ny2.因P在椭圆上,故 (mx1+nx2)22+(my1+ny2)2＝1． 把③④⑤代入上式即可得出x₁,y₁,x₂,y₂,满足的式子即可证明结论；

②利用①的结论kOAkOB＝y1y2x1x2＝−12为定值．可得故 y21+y22＝1． 及又(x212+y21)+(x222+y22)＝2,可得 x21+x22＝2．故可证明OA²+OB²= x21+y21+x22+y22为定值．