Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c 1)若a>b>c,且f(1)=0,证明:f(x)的图象与x轴有2个相异交点:

Answer 1

(1)由于f(1)=0,可得a+b+c=0,得到b=-(a+c)

对于二次函数f(x)=ax²+bx+c,且判别式

△=b²-4ac=(a+c)²-4ac=(a-c)²>0(a>b>c,a≠c)

所以与x轴有两个相异交点

(2) 对于f(x)=ax^2+bx+c,很容易得知其对称轴为x=-b/2a,下面分步讨论

当a>0时：

若x2>x1≥=-b/2a,此时f(x)为增函数,由x2>x1,可得f(x2)>f(x1)

由f(x)=[f(x1)+f(x2)]/2可得

f(x)=[f(x1)+f(x2) ]/2>[f(x1)+f(x1)]/2=f(x1)

f(x)=[f(x1)+f(x2)]/2