Question

设向量组I=α1，α2，…，αr，可由向量组Ⅱ=β1，β2，…，βs线性表出，下列命题正确的是（　　）

Answer 1

解题思路：对四个选项逐个进行判断，利用向量组线性无关的判定与证明方法来证明其成立，或者举出特殊的反例说明其不成立．

A：反设r＞s．因为向量组I=α₁，α₂，…，α_r，可由向量组Ⅱ=β₁，β₂，…，β_s线性表出，所以向量组α₁，α₂，…，α_r的秩＜s＜r，所以向量组I=α₁，α₂，…，α_r线性相关，矛盾！故r≤s，故A成立．

B：如果向量组Ⅱ=β₁，β₂，…，β_s线性相关，取α_i=β_i，i=1，…，s，则向量组I线性相关，且r=s，故B不正确．

C：因为向量组II详细相关，故存在β_k为非零向量，取α_i=iβ_k，i=1，…，s+1，则向量组I线性相关，但r=s+1＞s，故C不正确．

D：取α₁=(

1

2，−

1

2)，β₁=（1，-1）^T，β₂=（-1，1）^T，则 α₁=

1

2β1+0β2，故向量组I可由向量组II线性表出，但r＜s，故D不正确．

故选：A．

点评：

本题考点： 向量组线性无关的判定与证明；线性组合与线性表示；向量组的秩的求解．

考点点评： 本题考查了想象着线性无关的判定与证明、线性组合与线性表示等，综合性比较强，题目有一定的难度，需要熟练掌握相关知识点．