解题思路：我们把正方体中的所有三棱锥分为两类：第一类：在底面ABCD的三个顶点中任取三个作为三棱锥的顶点，然后在底面A1B1C1D1的四个顶点中任取一个作为三棱锥的第四个顶点，
第二类：在底面ABCD的三个顶点中任取两个作为三棱锥的顶点，然后在底面A1B1C1D1的四个顶点中任取两个作为三棱锥的另外两个顶点，从而得出正方体中的所有三棱锥的情况．
我们把正方体中的所有三棱锥分为两类：第一类：在底面ABCD的三个顶点中任取三个作为三棱锥的顶点，然后在底面A1B1C1D1的四个顶点中任取一个作为三棱锥的第四个顶点，一种是如图（1）中的三棱锥A1-ABD，其中三个面是直角三角形，
第四个 面是等边三角形；另一种是如图（1）中的三棱锥D1-BCD，四个面都是直角三角形．
第二类：在底面ABCD的三个顶点中任取两个作为三棱锥的顶点，然后在底面A1B1C1D1的四个顶点中任取两个作为三棱锥的另外两个顶点，一种是如图（2）中的三棱锥A1-BC1D，其中四个面是等边三角形；另一种是如图（2）中的三棱锥A1-BB1D，其中三个面是直角三角形，第四个面是等边三角形．
综上可知：①②④正确，而③不可能有．
故答案为①②④．
点评：
本题考点： 命题的真假判断与应用．
考点点评： 对正方体中的所有三棱锥进行正确分类是解题的关键．