解题思路：（I）求导数，利用导数的正负，可确定函数f（x）的单调区间；
（II）点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，即切线斜率为1，即f'（2）=1，可求a值，代入得g（x）的解析式，求导函数，利用函数g（x）=x3+x2[
m
2
+f′(x)
]在区间（2，3）上总存在极值，建立不等式组，即可求得m的取值范围．
求导数可得：f'（x）=
a
x−a（a＞0）
（I）当a=1时，f′(x)＝
1−x
x]，
令f'（x）＞0时，解得0＜x＜1，所以f（x）的单调递增区间是（0，1）；
令f'（x）＜0时，解得x＞1，所以f（x）的单调递减区间是（1，+∞）．
（II）因为函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，所以f'（2）=1．
所以a=-2，∴f'（x）=[−2/x+2．
∴函数g（x）=x3+x2[
m
2+f′(x)]=x3+x2[
m
2+2−
2
x]]=x3+（[m/2+2）x2-2x，
∴g'（x）=3x2+（m+4）x-2
∵函数g（x）=x3+x2[
m
2+f′(x)]在区间（2，3）上总存在极值，g'（0）=-2＜0
∴只需
g′(2)＜0
g′(3)＞0]
∴−
37
3＜m＜−9．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的极值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．