Question

已知数列{a n }的前n项和为S n ，且a 1 = 1 3 ，S n =n（2n-1）a n （n∈N*

Answer 1

（1）∵S _n=n（2n-1）a _n，且a ₁=

1

3

∴当n=2时，S ₂=a ₁+a ₂=2（4-1）a ₂，解得：a ₂=

1

15 ；

当n=3时，S ₃=a ₁+a ₂+a ₃=3（6-1）a ₃，解得：a ₃=

1

35

（2）由 （1）可以猜想{a _n}的通项为a _n=

1

(2n-1)(2n+1)

用数学归纳法证明如下：

①当n=1时，由条件知等式成立；

②假设当n=k（k≥1且k∈N ^*）等式成立，

即：a _k=

1

(2k-1)(2k+1)

那么当n=k+1时，由条件S _n=n（2n-1）a _n有：

S _k=k（2k-1）a _k=k（2k-1）；

1

(2k-1)(2k+1) =

k

2k+1 ，

∴S _k+1-S _k=a _k+1=（k+1）（2k+1）-

k

2k+1 ，即

k（2k+3）a _k+1=

k

2k+1 ，∴a _k+1=

1

(2k+1)(2k+3) ，

即：当n=k+1时等式也成立．

由①②可知，命题对一切n∈N ^*都成立．