Question

（2010•广元）已知：如图，△ABC内接于⊙O，CE是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为D，BC=2，AC=4，sin∠B

Answer 1

解题思路：（1）由圆周角定理得到∠CAB=∠CEB，再据CD⊥AB得到∠CDA=90°，利用CE为⊙O的直径，得到∠CBE=90°，从而得到∠CDA=∠CBE，证得△ACD∽△ECB．

（2）利用∠BAC的正弦值求得CD=[1/3]AC=[4/3]．再根据△ACD∽△ECB列出比例式求得CE的长，最后利用S=πr²求面积即可．

（1）证明：∵∠CAB和∠CEB都为弧BC所对的圆周角，

∴∠CAB=∠CEB，

又∵CD⊥AB，

∴∠CDA=90°，

∵CE为⊙O的直径，

∴∠CBE=90°，

∴∠CDA=∠CBE，

∴△ACD∽△ECB．

（2）sin∠BAC=[CD/AC]=[1/3]

∵AC=4，

∴CD=[4/3]，

∵△ACD∽△ECB，

∴[AC/BC＝

CD

CE]

∴[4/BC＝

4

3

2]，

∴CE=6，且EC为直径，

∴S=πr²=9π．

点评：

本题考点： 圆周角定理；相似三角形的判定与性质．

考点点评： 本题考查了圆周角定理及相似三角形的判定及性质，解题的关键是利用相似的判定证得相似，上一题的结论可以作为下一题的条件．