如图,正方形ABCD的对角线交于点O,点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点,而且这两个正方形的边长相等.试证明:无论正

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  • 解题思路:分两种情况探讨:(1)当正方形A1B1C1O边与正方形ABCD的对角线重合时;(2)当转到一般位置时,由题求证△AEO≌△BOF,故两个正方形重叠部分的面积等于三角形ABO的面积,得出结论.

    (1)当正方形绕点OA1B1C1O绕点O转动到其边OA1,OC1分别于正方形ABCD的两条对角线重合这一特殊位置时,

    显然S两个正方形重叠部分=[1/4]S正方形ABCD

    (2)当正方形绕点OA1B1C1O绕点O转动到如图位置时.

    ∵四边形ABCD为正方形,

    ∴∠OAB=∠OBF=45°,OA=OB

    BO⊥AC,即∠AOE+∠EOB=90°,

    又∵四边形A′B′C′O为正方形,

    ∴∠A′OC′=90°,即∠BOF+∠EOB=90°,

    ∴∠AOE=∠BOF,

    在△AOE和△BOF中,

    ∠AOE=∠BOF

    AO=BO

    ∠OAE=∠OBF,

    ∴△AOE≌△BOF(ASA),

    ∵S两个正方形重叠部分=S△BOE+S△BOF

    又S△AOE=S△BOF

    ∴S两个正方形重叠部分=SABO=[1/4]S正方形ABCD

    综上所知,无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动,两个正方形重叠部分的面积,总等于一个正方形面积的[1/4].

    点评:

    本题考点: 正方形的性质;全等三角形的判定与性质.

    考点点评: 此题考查正方形的性质,三角形全等的判定与性质,三角形的面积等知识点.

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