Question

（2005•黑龙江）已知a≥0，函数f（x）=（x2-2ax）ex．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）直接求两个函数乘积的导函数，令其等于0，求出极值点，判断单调性，进而求出最小值；

（Ⅱ）f（x）在[-1，1]上是单调函数，即其导函数恒大于等于或小于等于零，转化为不等式恒成立问题，再通过构造函数转化为求函数最值，利用导数的方法即可解决．

（1）令f'（x）=0即[x²-2（a-1）x-2a]e^x=0∴x²-2（a-1）x-2a=0

∵△=[2（a-1）]²+8a=4（a²+1）＞0∴x₁=a-1-

a2+1，x₂=a-1+

a2−1

又∵当x∈（-∞，a-1-

a2+1）时，f'（x）＞0；

当x∈（a-1-

a2+1，a-1+

a2+1）时，f'（x）＜0；

当x∈（a-1+

a2+1，+∞）时，f'（x）＞0．

列表如下：

∴x₁，x₂分别为f（x）的极大值与极小值点．

又∵

lim

x→−∞f（x）=0；当x→+∞时，f（x）→+∞．

而f（a-1+

a2+1）=2（1-

点评：

本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；函数单调性的性质．

考点点评： 本题考查函数单调性的性质，导数在函数最大值、最小值中的应用，灵活运用分类讨论思想与转化思想是解决此类题目的关键，属于中档题．