Question

如图所示，在直三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 中，底面是∠ ABC 为直角的等腰直角三角形， AC ＝2 a

Answer 1

a 或2 a

法一：由已知得 B ₁D ⊥平面 AC ₁，

又 CF ⊂平面 AC ₁，∴ B ₁D ⊥ CF ，

故若 CF ⊥平面 B ₁DF ，则必有 CF ⊥ DF .

设 AF ＝ x (0＜ x ＜3 a )，则 CF ²＝ x ²＋4 a ²，

DF ²＝ a ²＋(3 a － x ) ²，又 CD ²＝ a ²＋9 a ²＝10 a ²，

∴10 a ²＝ x ²＋4 a ²＋ a ²＋(3 a － x ) ²，

解得 x ＝ a 或2 a .

法二：分别以 BA 、 BC 、 BB ₁所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 B － xyz ，

则 B (0,0,0)， B ₁(0,0,3 a )，设 F (

a, 0， m )， D

， C (0，

a, 0)，

＝(

a ，－

a ， m )，

＝

，

＝(

a, 0， m －3 a )，

∵ CF ⊥面 B ₁DF ，∴ CF ⊥ B ₁F ，

⊥

，即

·

＝0，

·

＝0，

可得2 a ²＋ m ( m －3 a )＝0，解得 m ＝ a 或2 a .