Question

已知抛物线y=x2+mx-[3/4]m2（m＞0）．

Answer 1

解题思路：（1）令y=0，利用根的判别式证明即可；

（2）令y=0，解关于x的一元二次方程求出A、B的坐标，然后表示出AB，即可得到m的值；

（3）判断出△AOC和△COB相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出OC的长，再分点C在y轴负半轴和正半轴两种情况写出即可．

（1）证明：令y=0，则x²+mx-[3/4]m²=0，

△=b²-4ac=m²-4×1×（-[3/4]m²）=4m²，

∵m＞0，

∴△＞0，

∴该抛物线与x轴必有两个交点；

（2）令y=0，则x²+mx-[3/4]m²=0，

解得x₁=-[3/2]m，x₂=[m/2]，

∵点A在点B的左侧，

∴A（-[3/2]m，0），B（[m/2]，0），

∴AB=[m/2]-（-[3/2]m）=2m=4，

解得m=2；

（3）存在．

理由如下：由（2）得，m=2，点A（-3，0），B（1，0），

∵△ABC为直角三角形，点C在y轴上，

∴∠ACB=90°，

∴△AOC∽△COB，

∴[OA/OC]=[OC/OB]，

即[3/OC]=[OC/1]，

解得OC=

3，

点C在y轴负半轴时，点C的坐标为（0，-

3），

点C在y轴正半轴时，点C的坐标为（0，

3），

综上所述，y轴上有点C的坐标（0，-

3），（0，

点评：

本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题是二次函数综合题型，主要利用了根的判别式，抛物线与x轴的交点问题，相似三角形的判定与性质，综合题，但难度不大，（3）点C的坐标要分情况讨论．