Question

（2013•陕西）已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）设圆心C（x，y），过点C作CE⊥y 轴，垂足为E，利用垂径定理可得|ME|=[1/2]|MN|，

又|CA|²=|CM|²=|ME|²+|EC|²，利用两点间的距离公式即可得出．

（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由题意可知y₁+y₂≠0，y₁y₂＜0.

y

2

1

＝8

x

1

，

y

2

2

＝8

x

2

．利用角平分线的性质可得k_PB=-k_QB，可化为化为8+y₁y₂=0．又直线PQ的方程为

y−

y

1

＝

y

2

−

y

1

x

2

−

x

1

(x−

x

1

)

，代入化简整理为y（y₁+y₂）+8=8x，令y=0，则x=1即可得到定点．

（Ⅰ）设圆心C（x，y），过点C作CE⊥y 轴，垂足为E，则|ME|=[1/2]|MN|，

∴|CA|²=|CM|²=|ME|²+|EC|²，

∴（x-4）²+y²=4²+x²，化为y²=8x．

（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），

由题意可知y₁+y₂≠0，y₁y₂＜0.

y21＝8x1，

y22＝8x2．

∵x轴是∠PBQ的角平分线，∴k_PB=-k_QB，

∴

y1

x1+1＝−

y2

x2+1，∴

y1

y21

8+1＝

−y2

y22

8+1，化为8+y₁y₂=0．

直线PQ的方程为y−y1＝

y2−y1

x2−x1(x−x1)，

∴y−y1＝

y2−y1

y22

8−

y21

8(x−x1)，化为y−y1＝

8

y2+y1(x−

y21

8)，

化为y(y2+y1)−y1(y2+y1)＝8x−

y

点评：

本题考点： 轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系．

考点点评： 本题综合考查了抛物线的标准方程及其性质、垂径定理、两点间的距离公式、直线与抛物线相交问题、直线方程及过定点问题、斜率计算公式等基础知识，考查了推理能力、数形结合的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力，属于难题．