Question

在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*

Answer 1

解题思路：（1）由a_n+1=4a_n-3n+1可得a_n+1-（n+1）=4a_n-3n+1-（n+1）=4a_n-4n=4（a_n-n），从而可证

（2）由（1）可求a_n，利用分组求和及等差数列与等比数列的求和公式可求S_n

（1）∵a_n+1=4a_n-3n+1n∈N^*，

∴a_n+1-（n+1）

=4a_n-3n+1-（n+1）…（4）分

=4a_n-4n=4（a_n-n）…（6）分

∴{a_n-n}为首项a₁-1=1，公比q=4的等比数列…（8）分

（2）∵a_n-n=4^n-1
∴a_n=n+4^n-1…（10）分

S_n=1+2+…+n+（1+4+…+4^n-1）

=

n(n+1)

2+

1−4n

1−4

=

n(n+1)

2+

4n−1

3…（13）分

点评：

本题考点： 等比数列的前n项和；等差数列的前n项和；等比关系的确定．

考点点评： 本题主要考查了利用数列的递推公式构造证明等比数列，等比数列的通项公式的求解及分组求和方法的应用，等差数列及等比数列的求和公式的应用．