解题思路:(1)函数f(x)=(x+1)lnx定义域为(0,+∞),由
f
′
(x)=lnx+
1+x
x
,知f′(1)=2,且切点为(1,0,由此能求出f(x)在x=1处的切线方程.
(2)由已知a≠0,因为x∈(0,1),所以
1+x
1−x
•lnx<0
.当a<0时,g(x)>0,不合题意.当a>0时,x∈(0,1),由g(x)<-2,得lnx+
2a(1−x)
1+x
<0
.由此能求出实数a的取值范围.
(本小题满分12分)
(1)函数f(x)=(x+1)lnx定义域为(0,+∞),…(1分)
∵f′(x)=lnx+
1+x
x,
∴f′(1)=2,且切点为(1,0)…(4分)
故f(x)在x=1处的切线方程y=2x-2.…-(6分)
(2)由已知a≠0,因为x∈(0,1),
所以[1+x/1−x•lnx<0.
①当a<0时,g(x)>0,不合题意.…(8分)
②当a>0时,x∈(0,1),
由g(x)<-2,得lnx+
2a(1−x)
1+x<0.
设h(x)=lnx+
2a(1−x)
1+x],
则x∈(0,1),h(x)<0.h′(x)=
x2+(2−4a)x+1
x(1+x)2.
设m(x)=x2+(2-4a)x+1,
方程m(x)=0的判别式△=16a(a-1).
若a∈(0,1],△≤0,m(x)≥0,h′(x)≥0,
h(x)在(0,1)上是增函数,又h(1)=0,
所以x∈(0,1),h(x)<0.…(10分)
若a∈(1,+∞),△>0,m(0)=1>0,m(1)=4(1-a)<0,
所以存在x0∈(0,1),使得m(x0)=0,
对任意x∈(x0,1),m(x)<0,h′(x)<0,h(x)在(x0,1)上是减函数,
又h(1)=0,所以x∈(x0,1),h(x)>0.
综上,实数a的取值范围是(0,1].…(12分)
点评:
本题考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 本题考查切线方程的求法和求实数的取值范围,考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转化思想.综合性强,难度大,有一定的探索性,对数学思维能力要求较高,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答.