(2014•开封二模)已知函数f(x)=(x+1)lnx.

1个回答

  • 解题思路:(1)函数f(x)=(x+1)lnx定义域为(0,+∞),由

    f

    (x)=lnx+

    1+x

    x

    ,知f′(1)=2,且切点为(1,0,由此能求出f(x)在x=1处的切线方程.

    (2)由已知a≠0,因为x∈(0,1),所以

    1+x

    1−x

    •lnx<0

    .当a<0时,g(x)>0,不合题意.当a>0时,x∈(0,1),由g(x)<-2,得lnx+

    2a(1−x)

    1+x

    <0

    .由此能求出实数a的取值范围.

    (本小题满分12分)

    (1)函数f(x)=(x+1)lnx定义域为(0,+∞),…(1分)

    ∵f′(x)=lnx+

    1+x

    x,

    ∴f′(1)=2,且切点为(1,0)…(4分)

    故f(x)在x=1处的切线方程y=2x-2.…-(6分)

    (2)由已知a≠0,因为x∈(0,1),

    所以[1+x/1−x•lnx<0.

    ①当a<0时,g(x)>0,不合题意.…(8分)

    ②当a>0时,x∈(0,1),

    由g(x)<-2,得lnx+

    2a(1−x)

    1+x<0.

    设h(x)=lnx+

    2a(1−x)

    1+x],

    则x∈(0,1),h(x)<0.h′(x)=

    x2+(2−4a)x+1

    x(1+x)2.

    设m(x)=x2+(2-4a)x+1,

    方程m(x)=0的判别式△=16a(a-1).

    若a∈(0,1],△≤0,m(x)≥0,h′(x)≥0,

    h(x)在(0,1)上是增函数,又h(1)=0,

    所以x∈(0,1),h(x)<0.…(10分)

    若a∈(1,+∞),△>0,m(0)=1>0,m(1)=4(1-a)<0,

    所以存在x0∈(0,1),使得m(x0)=0,

    对任意x∈(x0,1),m(x)<0,h′(x)<0,h(x)在(x0,1)上是减函数,

    又h(1)=0,所以x∈(x0,1),h(x)>0.

    综上,实数a的取值范围是(0,1].…(12分)

    点评:

    本题考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性.

    考点点评: 本题考查切线方程的求法和求实数的取值范围,考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转化思想.综合性强,难度大,有一定的探索性,对数学思维能力要求较高,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答.